Question

（1）已知抛物线过点A（1，2），求抛物线的标准方程；
（2）已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，求双曲线的标准方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先根据点的位置确定抛物线焦点的位置，然后分焦点在x轴的正半轴时、焦点在y轴的正半轴时两种情况进行求解；
（2）确定双曲线的一个焦点为（2，0），即c=2，利用双曲线的离心率等于2，可得a=1，求出b，即可求出双曲线的标准方程．

解答： 解：（1）点M（1，2）是第一象限的点
当抛物线的焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y²=2px（p＞0）
∴4=2p，p=2，即抛物线的方程是y²=4x；
当抛物线的焦点在y轴的正半轴时，设抛物线的方程为x²=2py（p＞0）
∴1=4p，p=

1

4

，即抛物线的方程是x²=

1

2

y．
故抛物线的标准方程为x2=

1

2

y，或y2=4x
（2）抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
∵双曲线的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，
∴双曲线的一个焦点为（2，0），即c=2，
∵双曲线的离心率等于2，
∴a=1，
∴b=

3

，
∴双曲线的标准方程为x2-

y2

3

=1

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线、双曲线的方程．（1）注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．