Question

19．已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；
（Ⅱ）证明BG⊥面ADC，可得EF⊥面ADC，即可求出三棱锥E-ACD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取AC中点G，连结FG、BG
∵F，G分别是AD，AC的中点，∴FG∥CD，且FG=$\frac{1}{2}$DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等，∴EF∥BG． 
∵EF?平面ABC，BG?平面ABC，
∴EF∥面ABC…（6分）
（Ⅱ）解：∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC，
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG，
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC…（9分）
∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，
连结EC，三棱锥E-ACD的体积V=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$…．（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．