Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，左右两个焦点分别为F₁、F₂，过右焦点F₂且与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P、Q两点，若△F₁PQ的面积为$\sqrt{3}$，且|F₁F₂|＞2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，N为椭圆C上一点，若动点M满足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{AB}$+2a=m，且|MN|=|MB|（m∈R），试求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的定义和简单性质可得a=2，根据△F₁PQ的面积为$\sqrt{3}$可解出b，从而得出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设点M的坐标为（x，y），由 $\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{AB}$+2a=m，可求得 y=2x+m，求出点B关于P的轨迹的对称点N的坐标，并代入椭圆方程，解出 m值，即得点M的轨迹方程．

解答 解：∵椭圆长轴长为2a=4，∴a=2．
设P（c，y₀），则$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y₀=$\frac{{b}^{2}}{2}$．
∴|PQ|=2y₀=b²．
∵|F₁F₂|=2c，
∴S${\;}_{△{F}_{1}PQ}$=$\frac{1}{2}×{b}^{2}×2c$=$\sqrt{3}$，即b²c=$\sqrt{3}$，∴b²$•\sqrt{4-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴b=1．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）A（-2，0），B（0，-1）.$\overrightarrow{AB}$=（2，-1）．
设M（x，y），则$\overrightarrow{MA}$=（-2-x，-y）．∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}$=-4-2x+y．
∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{AB}$+2a=m，∴-2x+y-m=0，即y=2x+m．
∴M点轨迹方程为y=2x+m．
∵|MB|=|MN|，∴B，N关于直线y=2x+m对称．
设N（x₁，y₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}=-\frac{1}{2}}\\{\frac{{y}_{1}-1}{2}=2•\frac{{x}_{1}}{2}+m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-4-4m}{5}}\\{{y}_{1}=\frac{2m-3}{5}}\end{array}\right.$．
∵N（x₁，y₁） 在椭圆上，
∴（$\frac{-4-4m}{5}$）²+4（$\frac{2m-3}{5}$）²=4，整理得 2m²-m-3=0，解得 m=-1或 m=$\frac{3}{2}$．
∴点M的轨迹方程为 y=2x-1或 y=2x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义、标准方程和简单性质，求点的轨迹方程的方法，利用椭圆的对称性求出m值是解题的关键．