Question

如图实心点的个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作
a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，若a_n=145，则n=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，写出对应的n-1个等式，然后用累加的办法求出该数列的通项公式，然后代入项求项数．

解答： 解：a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，由此可知数列{a_n+1-a_n}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．
所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．
a₂-a₁=3×1+1
a₃-a₂=3×2+1
…
a_n-a_n-1=3（n-1）+1
累加得：a_n-a₁=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以a_n=a₁+3×

n(n-1)

2

+n-1=1+

3n(n-1)

2

+n-1=

3n2-n

2

．
由a_n=

3n2-n

2

=145，解得：n=-

29

3

（舍），或n=10．
故答案为：10．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，即从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，本题训练了一种求数列通项的重要方法--累加法．