Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和S_n满足：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）记{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，，求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，，又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n=3，4，）两式相减，得：3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，由此能够证明数列{a_n}为等比数列．
（Ⅱ）由，得，所以，由此能求出（b₁-b₃）b₂+（b₃-b₅）b₄+…+（b_2n-1-b_2n+1）b_2n之和．
解答：解：（Ⅰ）由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，∴
又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n=3，4，）两式相减，
得：3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
∴（n=3，4，）
综上，数列{a_n}为首项为1，公比为的等比数列
（Ⅱ）由，得，
所以{b_n}是首项为1，，公差为的等差数列，b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=（b₁-b₃）b₂+（b₃-b₅）b₄+…+（b_2n-1-b_2n+1）b_2n==
点评：第（Ⅰ）题考查等比数列的证明方法，证明过程中要注意迭代法的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列前n项和的计算，解题时要注意合理地进行等价转化．