Question

设数列{a_n}的首项a1=

5

4

，且a_n+1=

1 2 an，n为偶数 an+ 1 4 ，n为奇数

，记b_n=a_2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若设数列{c_n}的前n项和为S_n，c_n=nb_n，求S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知只要证明

bn+1

bn

为常数，即可证数列{b_n}是等比数列，可求b_n，
（II）由（I）可得cn=nbn=n•

1

2n-1

，结合数列的特点，考虑利用错位相减求解数列的和

解答：解（Ⅰ）∵bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，(n∈N*)
所以{b_n}是首项为a1-

1

4

=1，公比为

1

2

的等比数列
∴bn=

1

2n-1

（Ⅱ）∵cn=nbn=n•

1

2n-1

∴Sn=1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+(n-1)×

1

2n-2

+n×

1

2n-1

①
∴

1

2

Sn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+(n-1)×

1

2n-1

+n×

1

2n

②
①-②得

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

故Sn=2[

1-( 1 2 )n

1- 1 2

]-

n

2n-1

=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，等比数列的通项公式的应用，及数列求和的错位相减求和方法的应用，属于数列知识的综合性的应用．