Question

设数列{a_n}的首项a1=

3

2

，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂及a_n；
（Ⅱ）求满足

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把n=1代入2a_n+1+S_n=3，再由a1=

3

2

，能求出a₂的值．由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相减，得

an+1

an

=

1

2

，由此能够求出a_n．
（Ⅱ）由题意知

18

17

＜

S2n

Sn

=1+(

1

2

)n＜

8

7

，由此能够求出满足条件的所有的n的值．

解答：解：（Ⅰ）由2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，
又a1=

3

2

，所以a2=

3

4

．
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相减，
得

an+1

an

=

1

2

，
又

a2

a1

=

1

2

，所以数列{a_n}是以

3

2

为首项，
以

1

2

为公比的等比数列．
因此an=

3

2

•(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由题意与（Ⅰ），
得

18

17

＜

S2n

Sn

=1+(

1

2

)n＜

8

7

，
即

1

17

＜(

1

2

)n＜

1

7

因为

1

17

＜(

1

2

)3＜

1

7

，

1

17

＜(

1

2

)4＜

1

7

，
所以n的值为3，4．

点评：本题主要考查数列递推关系，等比数列的定义，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．虽然是一道基础题，但考查数列基础知识的面比较广．