Question

7．已知抛物线y=$\frac{1}{8}$x²与双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-x²=1（a＞0）有共同的焦点F，则双曲线的渐近线方程为y=$±\sqrt{3}x$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，然后求出双曲线的a，即可求解双曲线的渐近线方程．

解答 解：∵抛物线方程为x²=8y，
∴2p=8，$\frac{p}{2}$=2，可得抛物线的焦点为F（0，2）．
∵抛物线y=$\frac{1}{8}$x²与双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-x²=1（a＞0）有共同的焦点F，
∴双曲线的上焦点为（0，2），可得c=$\sqrt{{a}^{2}+1}$=2，解得a²=3，
可得a=$\sqrt{3}$且b=1，
∴双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-x²=1（a＞0）的渐近线方程为y=$≠\sqrt{3}$x．
故答案为：y=$±\sqrt{3}x$

点评 本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．