Question

2．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；
（2）求函数f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的余弦公式以及诱导公式结合辅助角公式进行化简即可求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；
（2）求出函数在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin[$\frac{π}{2}$+（x-$\frac{π}{4}$）]
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
则函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
（2）∵-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x≤π，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
则当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为f（x）=sin$\frac{π}{2}$=1，
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$时，函数取得最小值为f（x）=sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
即函数的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．