Question

16．已知函数f（x）=$\frac{lnx-x}{x}$
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）对于任意的非零实数k，证明不等式（e+k²）ln（e+k²）＞e+2k²恒成立．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，可得极大值，无极小值；
（2）由题意可得要证原不等式成立，令x=e+k²，可得原不等式即为xlnx＞2x-e，即证x＞e时，即xlnx-2x+e＞0，令g（x）=xlnx-2x+e（x＞e），求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{lnx-x}{x}$（x＞0）的导数为f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，可得x=e，
当x＞e时，f′（x）＜0；当0＜x＜e时，f′（x）＞0．
可得f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；
f（x）的极大值为f（e）=$\frac{1-e}{e}$，无极小值；
（2）证明：要证原不等式成立，
令x=e+k²，可得原不等式即为xlnx＞2x-e，
即证x＞e时，xlnx＞2x-e，
即xlnx-2x+e＞0，
令g（x）=xlnx-2x+e（x＞e），可得g′（x）=1+lnx-2=lnx-1，
当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）递增；
即有g（x）＞g（e）=elne-2e+e=0，
则x＞e时，xlnx＞2x-e成立，
即有对于任意的非零实数k，
不等式（e+k²）ln（e+k²）＞e+2k²恒成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用转化思想，构造函数法，判断单调性，考查运算能力，属于中档题．