Question

设函数f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，f（

A

2

）=3，且a=2

3

，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式及其周期公式即可得出；
（2）由f（

A

2

）=3，代入（1），再利用正弦函数的单调性和三角形的内角的取值范围可得A=

π

3

．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

m

•

n

=2cos2x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴T=

2π

2

=π．
（2）由f（

A

2

）=3，可得2sin(2×

A

2

+

π

6

)+1=3，化为sin(A+

π

2

)=1，
∴A+

π

2

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∵0＜A＜π，∴取k=0，解得A=

π

3

．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴(2

3

)2=(b+c)2-2bc-2bccos

π

3

=(b+c)2-3(

b+c

2

)2=

1

4

(b+c)2，
∴b+c≤4

3

，当且仅当b=c=2

3

时取等号．
∴△ABC周长的最大值为6

3

．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式及其周期公式、正弦函数的单调性、三角形的内角的取值范围、余弦定理、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．