Question

20．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且（x-1）f′（x）＞0，f（2）=0，则x•f（x）＜0的解集为（　　）

• A． （0，2）
• B． （0，1）∪（2，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，2）
• D． （-∞，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 通过讨论x的范围，求出f（x）的单调性，根据f（x）=f（2-x），求出f（x）的对称性，从而求出不等式的解集即可．

解答 解：∵（x-1）f′（x）＞0，
∴当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
又f（x）=f（2-x），∴f（x+1）=f（1-x），对称轴x=1，
而f（2）=0，
∴x∈（-∞，0），f（x）＞0，
x∈（0，2），f（x）＜0，
x∈（2，+∞），f（x）＞0，
x•f（x）＜0的解集是（-∞，0）∪（0，2），
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、对称性，考查不等式问题，是一道中档题．