Question

8．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+2，n∈N^*，a₁=2，b_n=a_n+1
（1）证明数列{b_n}为等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n与其前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用构造法将函数进行转化，结合等比数列的定义进行证明．
（2）根据b_n=a_n+1的关系即可求出数列{a_n}的通项公式a_n，利用等比数列的前n项和公式以及分组法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵a_n+1=3a_n+2，
∴1+a_n+1=3a_n+2+1=3（a_n+1），
∵a₁=2，b_n=a_n+1
∴b_n+1=3b_n，
即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=3，则数列{b_n}是公比q=3的等比数列．
（2）∵数列{b_n}是公比q=3的等比数列，首项b₁=a₁+1=2+1=3，
则b_n=3•3^n-1=3ⁿ=a_n+1，
则a_n=3ⁿ-1．
则S_n=$\frac{3（3-{3}^{n}）}{1-3}$-n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-n．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的计算，根据条件利用构造法结合等比数列的定义是解决本题的关键．