Question

已知F为抛物线y²=4x的焦点，定点M的坐标为（a，0）（a为常数，a＞0且a≠1），过点F作斜率为k（k＞0）的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM，分别交抛物线于C、D两点（不同于A、B）．
（Ⅰ）若k=1，求直线CD的斜率；
（Ⅱ） 若k∈（0，+∞），求△MCD的面积的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）将直线AB的方程y=k（x-1）代入y²=4x，利用韦达定理，确定C，D的坐标，利用点差法，即可求直线CD的斜率；
（Ⅱ） 求出|AB|，点M到直线AB的距离，可得面积，进而可求△MCD的面积的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ） 将直线AB的方程y=k（x-1）代入y²=4x，可得ky²-4y-4k=0，并且△=16（1+k²）＞0恒成立．
若设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

4

k

， y1y2=-4．      ①
又设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由A、M、C三点共线可得

y1

x1-a

=

y3

x3-a

  ⇒  y1x3-y3x1=a(y1-y3)
将x3=

y 2 3

4

， x4=

y 2 4

4

代入上式可得(y1-y3)(a+

y1y3

4

)=0．
又因为y₁≠y₃，所以a+

y1y3

4

=0．即知y3=-

4a

y1

，
同理可得y4=-

4a

y2

．
联系①式可得y3+y4=-4a(

1

y1

+

1

y2

)=

4a

k

，  y3y4=

16a2

y1y2

=-4a2②
设直线CD的斜率为m，由

y

2 3

=4x3， 

y

2 4

=4x4
两式相减可得，m=

y3-y4

x3-x4

=

4

y3+y4

=

k

a

特别地，当k=1时，m=

1

a

．                                   …（6分）
（Ⅱ） |AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

1+ 1 k2

•

16+16k2

|k|

，
点M到直线AB的距离d=

|k(a-1)|

1+k2

，
故△MAB的面积为S△MAB=

1

2

•|AB|•d=

1

2

•

1+ 1 k2

•

16+16k2

|k|

•

|k(a-1)|

1+k2

=2|a-1|•

1+ 1 k2

．
注意到  

S△MCD

S△MAB

=

1 2 •|MC|•|MD|•sin∠CMD

1 2 •|MA|•|MB|•sin∠AMB

=

|MC|

|MA|

•

|MD|

|MB|

=

|y3y4|

|y1y2|

=

16a2

y 2 1 y 2 2

=a2，
所以S△MCD=a2•S△MAB=2a2|a-1|•

1+ 1 k2

．
因为

1+ 1 k2

∈(1，+∞)，所以△MCD的面积的取值范围是（2a²|a-1|，+∞）．…（15分）

点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．