Question

(2014·广州模拟)已知☉M：x²+(y-2)²=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切☉M于A,B两点.
(1)如果|AB|=,求直线MQ的方程.
(2)求证：直线AB恒过一个定点.

Answer 1

（1）2x+y-2=0或2x-y+2=0
（2）见解析

(1)如图所示,连AM,BM,

设P是AB的中点,由|AB|=,
可得|MP|
=
==.
由射影定理,得|MB|²=|MP|·|MQ|,得|MQ|=3,
在Rt△MOQ中,|OQ|===,
故Q点的坐标为(,0)或(-,0),所以直线MQ的方程是：
2x+y-2=0或2x-y+2=0.
(2)设Q(a,0),由题意知M,A,Q,B四点共圆,直径为MQ.
设R(x,y)是该圆上任一点,由·=0得x(x-a)+(y-2)y=0.
即x²+y²-ax-2y=0.①
①式与x²+(y-2)²=1联立,消去x²,y²项得两圆公共弦AB所在的直线方程为-ax+2y=3.
所以无论a取何值,直线AB恒过点,故直线AB恒过一个定点.