Question

16．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．在以O为极点，Ox为极轴的极坐标系中，曲线C₂：sinθ-ρcos²θ=0．若曲线C₁和曲线C₂相交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M（-1，2）到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化方法求曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）利用参数的几何意义，求点M（-1，2）到A，B两点的距离之积．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₂：sinθ-ρcos²θ=0，
∴ρsinθ-（ρcosθ）²=0．…（2分）
∴y-x²=0．
∴曲线C₂的直角坐标方程为y=x²．…（5分）
（Ⅱ）把C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入y=x²，得t²+$\sqrt{2}$t-2=0①．…（7分）
设方程①的两根为t₁，t₂，∴t₁t₂=-2．
∵点M在曲线C₁上，对应的t值为t=0，且A，B两点对应的t值为t₁，t₂，
∴点M（-1，2）到A，B两点的距离之积=|t₁t₂|=2．…（10分）

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．