Question

7．已知定义在[0，1]上的函数y=f（x），f′（x）为f（x）的导函数，f（x）图象如图，对满足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，给出下列结论：
①f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）；
④[f′（x₁）-f′（x₂）]•（x₁-x₂）＞0．
则下列结论中正确的是②③．

Answer 1

分析 根据题意可作出函数y=f（x）的图象，利用直线的斜率的几何意义，利用数形结合的思想研究函数的单调性与最值即可得到答案．

解答 解：由函数y=f（x）的图象可得，
对于④当0＜x₁＜x₂＜1时，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故④错误；
函数y=f（x）在区间[0，1]上的图象如图：
对于①设曲线y=f（x）上两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），
直线AB的斜率k_AB=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜k_op=1，
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故①错误；
对于③，由图可知，k_oA＞k_oB，即$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，0＜x₁＜x₂＜1，于是有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），故②正确；
对于④，设AB的中点为R，则R（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$），$\widehat{AB}$的中点为S，则S（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
显然有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），即③正确．
对于④当0＜x₁＜x₂＜1时，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故④错误；
综上所述，正确的结论的序号是②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查函数的图象，着重考查直线的斜率的几何意义，考察函数的单调性，突出考查作图象的能力与数形结合解决问题的能力，属于中档题．