Question

【题目】在四棱锥中，侧面PAD是等边三角形，且平面平面ABCD，，.

（1）AD上是否存在一点M，使得平面平面ABCD；若存在，请证明，若不存在，请说明理由；

（2）若的面积为，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1) 存在一点M为中点，使得平面平面ABCD，证明见详解；(2).

【解析】

（1）取中点为，根据平面，由线面垂直推证面面垂直即可；

（2）根据的面积求得各棱长度，即可由体积公式求得结果.

（1）存在点为中点，使得平面平面ABCD，证明如下：

取中点为，连接，如下图所示：

因为为等边三角形，为中点，

故可得；

又因为平面平面ABCD，且交线为，

又因为平面，，

故可得平面，又平面，

故可得平面平面，即证.

（2）不妨设，

故可得，

由（1）可知为直角三角形，

且，，

故可得；

在中，因为，

则，则，

故可得其面积，

解得；

故可得

又由（1）可知，平面，

故.

故四棱锥的体积为.