Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x+2}{x}$
（1）写出函数f（x）的定义域和值域；
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数；并求f（x）在x∈[2，8]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的解析式，可求出函数f（x）的定义域和值域；
（2）证法一：设0＜x₁＜x₂，作差可得f（x₁）＞f（x₂），根据函数单调性的定义，可得：函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数；
证法二：求导，根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0恒成立，可得：函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数．进而可得f（x）在x∈[2，8]上的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{x+2}{x}$=1+$\frac{2}{x}$，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
函数f（x）的值域为{y|y≠1}     …4 分
证明：（2）
证法一：设0＜x₁＜x₂，
则x₁•x₂＞0，x₁-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（1+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{-2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}•{x}_{1}}$＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数     …8 分
证法二：∵f（x）=1+$\frac{2}{x}$，
∴f′（x）=$-\frac{2}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数     …8 分
故当x=2时，函数取最大值2，
当x=8时，函数取最小值$\frac{5}{4}$．
故f（x）在x∈[2，8]上的值域为[$\frac{5}{4}$，2]…12 分

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数的值域，难度中档．