Question

13．设O点为坐标原点，曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x+my+4=0对称，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O．
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．
（3）M为x轴上的一点，当△MPQ为钝角三角形时，求M的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，代入直线方程易求m的值；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及OP⊥OQ，求得b的方程，然后求直线PQ的方程．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-6y+1=0}\end{array}\right.$，解得x的值，P，Q两点的坐标，△MPQ的三个内角都可能为钝角，分类讨论即可得解．

解答 解：（1）曲线方程为（x+1）²+（y-3）²=9，表示圆心为（-1，3），半径为3的圆．
∵点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称．
∴圆心（-1，3）在直线上，代入直线方程得m=-1．…2分
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．…3分
将y=-x+b代入圆方程得，
2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-8×（b²-6b+1）＞0，∴2-3$\sqrt{2}$＜b＜2+3$\sqrt{2}$，
由韦达定理得，
x₁+x₂=b-4，x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}-6b+1}{2}$，…4分
y₁•y₂=（-x₁+b）（-x₂+b）
=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}+2b+1}{2}$，
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，…5分
即$\frac{{b}^{2}-6b+1}{2}$+$\frac{{b}^{2}+2b+1}{2}$=0．解得b=1∈（2-3，2+3）．∴所求的直线PQ方程为y=-x+1．…7分
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-6y+1=0}\end{array}\right.$得x²+3x-2=0，解得x=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$，所以P（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$），Q（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$） …8分
1、若∠PMQ为钝角时，M点在以PQ为直径的圆内．而PQ中点为（$\frac{-3}{2}$，$\frac{5}{2}$），所以以PQ为直径的圆与x轴交于两点O（0，0），A（-3，0），所以-3＜x＜0．…9分
2、当∠MPQ为钝角时，过P点且垂直于PQ的直线方程为y-$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$=x+$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，令y=0得x=-4-$\sqrt{17}$，

所以x＜-4-$\sqrt{17}$ …10分
3、当∠MQP为钝角时，过Q点且垂直于PQ的直线方程为y-$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$=x-$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，令y=0得x=$\sqrt{17}$-4，所以x＞$\sqrt{17}$-4，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=0}\end{array}\right.$得直线PQ与x轴的交点为M（1，0），此时M，P，Q三点共线，所以x＞$\sqrt{17}$-4且x≠1…12分
综上：当△MPQ为钝角三角形时，M的横坐标的取值范围为：（-∞，-4-$\sqrt{17}$）∪（-3，0）∪（$\sqrt{17}$-4，1）∪（1，+∞）…13分

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，函数与方程的思想，是中档题．