Question

2．设函数f（x）=ax²-bx+3，且f（x）＞0的解集为（-1，3），
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若g（3+2sinθ）≥$\frac{1}{5}$m²-$\frac{12}{5}$m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据方程和一元二次不等式的解集的关系，根据韦达定理即可求出a，b的值，继而求出函数f（x）的解析式，
（2）先求出3+2sinθ的范围，根据g（x）的单调性质，求出g（3+2sinθ）_min=g（5）=-$\frac{12}{5}$，继而得到关于m的不等式，解得即可．

解答 解：（1）由题知：方程ax²-bx+3=0的解为-1与3，
则$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=\frac{b}{a}}\\{-1×3=\frac{3}{a}}\end{array}\right.$     解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=-x²+2x+3，
（2）由（1）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{3}{x}$-x+2，
∵θ∈R，
∴-1≤sinθ≤1，
∴1≤3+2sinθ≤5，
∵g（x）是单调减函数，
∴g（3+2sinθ）_min=g（5）=-$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{1}{5}$m²-$\frac{12}{5}$m≤-$\frac{12}{5}$
即：m²-12m+12≤0，
解得6-2$\sqrt{6}$≤m≤6+2$\sqrt{6}$，
∴实数m的取值范围为[6-2$\sqrt{6}$，6+2$\sqrt{6}$]．

点评 本题考查了一元二次不等式和函数解析式的求法，以及解决不等式恒成立问题，通过转化为函数最值问题来解决是常用的方法．