Question

3．设x，y为正实数，若x（4x+y）=1-y²．则2x+y的最大值是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 由条件，配方可得（2x+y）²=1+3xy=1+$\frac{3}{2}$•2xy，运用基本不等式的变形：ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，（a，b＞0，a=b取得等号），即可得到最大值．

解答 解：x，y为正实数，x（4x+y）=1-y²，
即为4x²+y²=1-xy，
即有（2x+y）²=1+3xy=1+$\frac{3}{2}$•2xy
≤1+$\frac{3}{2}$•（$\frac{2x+y}{2}$）²，
化为$\frac{5}{8}$（2x+y）²≤1，
解得2x+y≤$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
当且仅当y=2x=$\frac{\sqrt{10}}{5}$时，2x+y取得最大值$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用配方变形和基本不等式，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．