Question

15．设a，b，c均为正数且a+b+c=9，则$\frac{4}{a}$+$\frac{9}{b}$+$\frac{16}{c}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由条件可得（a+b+c）（$\frac{4}{a}$+$\frac{9}{b}$+$\frac{16}{c}$）=[（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt{b}$）²+（$\sqrt{c}$）²][（$\frac{2}{\sqrt{a}}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{b}}$）²+（$\frac{4}{\sqrt{c}}$）²]，运用柯西不等式，即可得到所求最小值，求得a=2，b=3，c=4时，取得最小值．

解答 解：a，b，c均为正数且a+b+c=9，
由柯西不等式，可得
（a+b+c）（$\frac{4}{a}$+$\frac{9}{b}$+$\frac{16}{c}$）=[（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt{b}$）²+（$\sqrt{c}$）²][（$\frac{2}{\sqrt{a}}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{b}}$）²+（$\frac{4}{\sqrt{c}}$）²]
≥（$\sqrt{a}$•$\frac{2}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{b}$•$\frac{3}{\sqrt{b}}$+$\sqrt{c}$•$\frac{4}{\sqrt{c}}$）²=（2+3+4）²=81．
当$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{3}$b=$\frac{1}{4}$c，即a=2，b=3，c=4时，
$\frac{4}{a}$+$\frac{9}{b}$+$\frac{16}{c}$的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查最值的求法，注意运用变形和柯西不等式，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．