Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4m，0)(m＞0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若θ＝90°，，求实数m；
(3)试问的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

Answer 1

（1）＝1.（2）m＝（3）无关

(1)∵c＝4m，椭圆离心率e＝＝，∴a＝5m.∴b＝3m.
∴椭圆C的标准方程为＝1.
(2)在椭圆方程＝1中，令x＝4m，解得y＝±.
∵当θ＝90°时，直线MN⊥x轴，此时FM＝FN＝，∴＝.
∵＝，∴＝，解得m＝.
(3)的值与θ的大小无关．
证明如下：(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d₁、d₂.
∵＝，＝，∴＝.
又由图可知，MFcosθ＋d₁＝－c＝，
∴d₁＝，即＝.
同理，＝＝(－cosθ＋1)．
∴＝＋(－cosθ＋1)＝.
∴＝·＝.显然该值与θ的大小无关．
(证法2)当直线MN的斜率不存在时，由(2)知，的值与θ的大小无关．
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－4m)，
代入椭圆方程＝1，得(25k²＋9)m²x²－200m³k²x＋25m⁴(16k²－9)＝0.
设点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，∵Δ＞0恒成立，∴x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
∵＝，＝，∴MF＝5m－x₁，NF＝5m－x₂.
∴＝.
显然该值与θ的大小无关．