Question

给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程，
并证明；
（ⅱ）求证：线段的长为定值.

Answer 1

（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）详见解析.

试题分析：（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出因为短轴上的一个端点到的距离为，所以而所以再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消得关于的一元二次方程，由判别式为零得斜率,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点坐标在变化，所以由判别式为零得关于点坐标的一个等式：，即，而这等式对两条切线都适用，所以的斜率为方程两根，因此.当垂直时，线段为准圆的直径，为定值4.
试题解析：解：（1），
椭圆方程为，                            2分
准圆方程为.                             3分
（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
所以由得.
因为直线与椭圆相切，
所以，解得，       6分
所以方程为.                 7分
，.                              8分
（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，
则：，
当：时，与准圆交于点，
此时为（或），显然直线垂直；
同理可证当：时，直线垂直.             10分
②当斜率存在时，设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为，
所以由
得 .
由化简整理得 ，
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆相切，
所以满足上述方程，
所以，即垂直.                          12分
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.
所以线段为准圆的直径， ，
所以线段的长为定值.                             14分