Question

设A₁、A₂与B分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A₂B与圆C：x²＋y²＝1相切．
(1)求证：＝1；
(2)P是椭圆E上异于A₁、A₂的一点，若直线PA₁、PA₂的斜率之积为－，求椭圆E的方程；
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点，且·＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）＝1.（3）直线l与圆C相切

(1)证明：已知椭圆E：＝1(a>b>0)，A₁、A₂与B分别为椭圆E的左、右顶点与上顶点，
所以A₁(－a，0)，A₂(a，0)，B(0，b)，直线A₂B的方程是＝1.
因为A₂B与圆C：x²＋y²＝1相切，所以＝1，即＝1.
(2)解：设P(x₀，y₀)，则直线PA₁、PA₂的斜率之积为kPA₁·kPA₂＝，＝1，而＝1，所以b²＝a².结合＝1，得a²＝4，b²＝.所以椭圆E的方程为＝1.
(3)解：设点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．
①若直线l的斜率存在，设直线l为y＝kx＋m，由y＝kx＋m代入＝1，得＋＝1.化简得(b²＋a²k²)x²＋2a²kmx＋a²m²－a²b²＝0(Δ>0)．∴x₁x₂＝，y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝
.因为·＝0，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0.代入得(a²＋b²)m²－a²b²(1＋k²)＝0.结合(1)的＝1，得m²＝1＋k².圆心到直线l的距离为d＝＝1，所以直线l与圆C相切．
②若直线l的斜率不存在，设直线l为x＝n.代入＝1，得y＝±b.∴|n|＝b·，∴a²n²＝b²(a²－n²)．解得n＝±1，所以直线l与圆C相切．