Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数． 当x≥0时，f（x）=

5 16 x2(0≤x≤2) ( 1 2 )x+1(x＞2)

，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：依题意f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递增，在（-2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值

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；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t²+at+b=0必有两个根t₁、t₂，则有两种情况：（1）t₁=

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，且t₂∈（1，

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），（2）t₁∈（0，1]，t₂∈（1，

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），符合题意，讨论求解．

解答： 解：依题意f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递增，在（-2，0）和（2，+∞）上递减，
当x=±2时，函数取得极大值

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；
当x=0时，取得极小值0．
要使关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，
设t=f（x），
则t²+at+b=0必有两个根t₁、t₂，
则有两种情况符合题意：
（1）t₁=

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，且t₂∈（1，

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），
此时-a=t₁+t₂，
则a∈（-

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2

，-

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）；
（2）t₁∈（0，1]，t₂∈（1，

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），
此时同理可得a∈（-

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，-1），
综上可得a的范围是（-

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2

，-

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）∪（-

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，-1）．
故答案为：（-

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2

，-

9

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）∪（-

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，-1）．

点评：本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题．