Question

已知点P是圆C：x²+y²-4ax-2by-5=0（a＞0，b＞0）上任意一点，若点P关于直线x+2y-1=0的对称点仍在圆C上，则

4

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：计算题,不等式的解法及应用,直线与圆

分析：由题意，x²+y²-4ax-2by-5=0表示的是以（2a，b）为圆心的圆，则直线x+2y-1=0过圆心，从而可得a+b=

1

2

（a＞0，b＞0），利用不等式即可．

解答： 解：x²+y²-4ax-2by-5=0表示的是以（2a，b）为圆心的圆，
故由曲线x²+y²-4ax-2by-5=0上的任意一点关于直线x+2y-1=0的对称点仍在圆C上可得，
直线x+2y-1=0过点（2a，b），则2a+2b-1=0，
即a+b=

1

2

（a＞0，b＞0），
则

4

a

+

1

b

=2（a+b）（

4

a

+

1

b

）=2（5+

a

b

+

4b

a

）≥2（5+4）=18．（当且仅当

a

b

=

4b

a

时，等号成立）
故答案为：18．

点评：本题考查了恒成立问题及圆的结构特征，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．