Question

14．已知方程x²-5x-8=0的两个根为x₁，x₂，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$和$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 根据一元二次方程根与系数之间的关系，求出$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$和$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$即可得到结论．

解答 解：∵方程x²-5x-8=0的两个根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=-8，
则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{25-2×（-8）}{-8}$=$\frac{25+16}{-8}$=-$\frac{41}{8}$，
$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=1．
则以$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$和$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$为根的一元二次方程为x²-（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）x+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=0．
即x²+$\frac{41}{8}$x+1=0．

点评 本题主要考查一元二次方程的求解，根据一元二次方程根与系数之间的关系是解决本题的关键．