Question

9．已知一元二次方程x²+ax+b=0的一个根在[-2，-1]内，另一个根在[1，2]内，使用图表示出以a，b为坐标轴的点（a，b）的存在范围，并求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=x²+ax+b，根据根与系数之间建立不等式关系，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：设f（x）=x²+ax+b，
∵元二次方程x²+ax+b=0的一个根在[-2，-1]内，另一个根在[1，2]内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（-2）≥0}\\{f（1）≤0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-a+b≤0}\\{4-2a+b≥0}\\{1+a+b≤0}\\{4+2a+b≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则以a，b为坐标轴的点（a，b）的存在区域为四边形ABCD及其内部，
设z=a+b，即b=-a+z，
平移直线b=-a+z，
由图象知当直线b=-a+z经过点B（0，-4）时，直线b=-a+z的截距最小，此时z最小，z=0-4=-4，
当直线b=-a+z与直线CD：a+b+1=0重合是，直线b=-a+z的截距最大，此时z=-1，
即-4≤z≤-1，
即a+b的取值范围是[-4，-1]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用一元二次方程根与系数之间的关系，将方程转化为函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．