Question

2．已知以极点为原点，极轴为x轴正方向建立即坐标系，曲线C₁的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C1交于A，B两点，点M的直角坐标为（2，1），若$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{MB}$，求直线l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（2）设A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）．把直线的参数方程代入曲线C₁的方程，根据t的几何意义即可求出．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ
∴曲线C₁的直角坐标方程是x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4（4分）
（2）设A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）
由已知|$\overrightarrow{MA}$|=2|$\overrightarrow{MB}$|，注意到M（2，1）是直线参数方程恒过的定点，
∴t_A=-2t_B①
联立直线的参数方程与曲线C₁的直角坐标方程得：t²cos²θ+（1+tsinθ）²=4，
整理得：t²+2tsinθ-3=0，（6分）
∴t_A+t_B=-2sinθ，t_A•t_B=-3，与①联立得：sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，cosθ=±$\frac{\sqrt{10}}{4}$
∴直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{10}}{4}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{6}}{4}t}\end{array}\right.$，（为参数）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{10}}{4}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{6}}{4}t}\end{array}\right.$，（为参数）．（8分）
消去参数得的普通方程为y=$\frac{\sqrt{15}}{5}$x-$\frac{2\sqrt{15}}{5}$+1或y=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$x+$\frac{2\sqrt{15}}{5}$+1（10分）

点评 本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，考查了方程思想，属于基础题．