Question

17．已知函数f（x）=|x-2|+|2x+a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）若存在x₀满足f（x₀）+|x₀-2|＜3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）求出f（x）+|x-2|的最小值，根据不等式的关系转化为（f（x）+|x-2|）_min＜3即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-2|+|2x+1|，．
由f（x）≥5得x-2|+|2x+1|≥5．
当x≥2时，不等式等价于x-2+2x+1≥5，解得x≥2，所以x≥2；    …（1分）
当-$\frac{1}{2}$＜x＜2时，不等式等价于2-x+2x+1≥5，即x≥2，所以此时不等式无解；…（2分）
当x≤-$\frac{1}{2}$时，不等式等价于2-x-2x-1≥5，解得x≤-$\frac{4}{3}$，所以x≤-$\frac{4}{3}$．…（3分）
所以原不等式的解集为（-∞，-$\frac{4}{3}$]∪[2，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）f（x）+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|≥|2x+a-（2x-4）|=|a+4|…（7分）
因为原命题等价于（f（x）+|x-2|）_min＜3，…（9分）
所以|a+4|＜3，所以-7＜a＜-1为所求实数a的取值范围．…（10分）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键．