Question

函数f（x）=x²+ax-alnx．
（1）a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）a＞1时，求函数f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=1带入函数解析式，求f′（x），根据f′（x）的符号即可求出f（x）的单调区间；
（2）求f′（x），判断f（x）取极值的情况，判断出函数f（x）有极小值．所以对于f（x）在[1，a]上的最大值情况，只要比较端点处的值即可．令g（a）=f（a）-f（1），通过求g′（a），判断出g（a）＞0，或＜0即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²+x-lnx，f′（x）=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

x

；
令2x²+x-1=0得：x=

1

2

，或-1（舍去）；
∴x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＜0；x∈（

1

2

，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调减区间是：（0，

1

2

）；单调增区间是：（

1

2

，+∞）；
（2）f′（x）=2x+a-

a

x

=

2x2+ax-a

x

；
令2x²+ax-a=0，∵a＞1，∴方程的根为：x1=

-a- a2+8a

4

＜0（舍去），x2=

-a+ a2+8a

4

；
∵x1•x2=-

a

2

＜0，∴x₂＞0；
∴x∈（0，x₂）时，f′（x）＜0；x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＞0；
∴x₂是f（x）的极小值点；
∴f（x）在[1，a]上的最大值是f（1），f（a）中较大者；
设g（a）=f（a）-f（1）=2a²-a-alna-1；
g′（a）=4a-lna-3；
设h（a）=g′（a），则：h′（a）=4-

1

a

＞0；
∴h（a）在（1，+∞）上为增函数；
∴h（a）＞h（1）=4-3＞0，即g′（a）＞0；
∴g（a）在（1，+∞）上为增函数；
∴g（a）＞g（1）=0；
∴f（a）＞f（1）；
∴函数f（x）在[1，a]上的最大值为f（a）=2a²-alna．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数极值的概念，比较f（a）和f（1）用的方法．