Question

【题目】在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．

（1）求的取值范围；

（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）没有

【解析】解：(1)由已知条件知直线l的方程为

y＝kx＋，

代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.

整理得x2＋2kx＋1＝0.①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，

解得k<－或k>，

即k的取值范围为∪.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，

由方程①得x1＋x2＝－.②

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，③

而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，

所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)．

将②③代入上式，解得k＝.

由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.