题目内容
【题目】已知函数,将
的图象向右平移两个单位长度,得到函数
的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)若方程在
上有且仅有一个实根,求
的取值范围;
(3)若函数与
的图象关于直线
对称,设
,已知
对任意的
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
【试题分析】(1)借助平移的知识可直接求得函数解析式;(2)先换元将问题进行等价转化为
有且只有一个根,再构造二次函数
运用函数方程思想建立不等式组分析求解;(3)先依据题设条件求出函数的解析式
,再运用不等式恒成立求出函数
的最小值:
解:(1)
(2)设,则
,原方程可化为
于是只须在
上有且仅有一个实根,
法1:设,对称轴t=
,则
① , 或
②
由①得 ,即
,
由②得 无解, ,则
。
法2:由
,得,
,
,
设,则
,
,记
,
则在
上是单调函数,因为故要使题设成立,
只须,即
,
从而有
(3)设的图像上一点
,点
关于
的对称点为
,
由点在
的图像上,所以
,
于是 即
.
.
由,化简得
,设
,即
恒成立.
解法1:设,对称轴
则③ 或
④
由③得, 由④得
或
,即
或
综上,.
解法2:注意到,分离参数得
对任意
恒成立
设,
,即
可证在
上单调递增
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练习册系列答案
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【题目】某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温 (℃)与该小卖部的这种饮料销量
(杯),得到如下数据:
日期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均气温 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据所给五组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)据(1)中所得的线性回归方程,若天气预报1月16日的白天平均气温7(℃),请预测该奶茶店这种饮料的销量.
(参考公式:,
)