题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,F为椭圆E:的右焦点,过F作两条相互垂直的直线AB,CD,与椭圆E分别交于A,B和点C,D.
(1)当AB=时,求直线AB的方程;
(2)直线AB交直线x=3于点M,OM与CD交于P,CO与椭圆E交于Q,求证:OM∥DQ.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)由题意可设直线AB方程y=k(x-2),则直线CD的方程为,分别与椭圆方程联立,利用弦长公式可得出|AB|,|CD|,根据AB=
解得k,即可得直线AB方程.(2)将直线AB与直线x=3联立,解得M,可得直线OM方程,将直线OM与直线CD联立,解得P点坐标,将直线CD与椭圆联立,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段CD的中点坐标,得到与点P重合.又点O是CQ的中点,由三角形中位线即可证明结论.
(1)由题意可设直线的方程为:
,
,
.则直线
的方程为:
.
联立,化为:
,
,
,
则.
同理可得:.
,
.
化为:,解得
.
直线
的方程为:
.
(2)证明:设直线的方程为:
,则直线
的方程为:
,
,
联立,解得
.
可得直线的方程:
,
联立,解得
.
联立,化为:
,
,可得线段
的中点坐标
,与点
重合.
又点是
的中点,
,即
.
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