题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，F为椭圆E：
的右焦点，过F作两条相互垂直的直线AB，CD，与椭圆E分别交于A，B和点C，D．
（1）当AB=
时，求直线AB的方程；
（2）直线AB交直线x=3于点M，OM与CD交于P，CO与椭圆E交于Q，求证：OM∥DQ．
【答案】(1) 
(2)见证明
【解析】
（1）由题意可设直线AB方程y=k（x-2），则直线CD的方程为
，分别与椭圆方程联立，利用弦长公式可得出|AB|,|CD|，根据AB=
解得k，即可得直线AB方程.（2）将直线AB与直线x=3联立，解得M，可得直线OM方程，将直线OM与直线CD联立，解得P点坐标，将直线CD与椭圆联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段CD的中点坐标，得到与点P重合．又点O是CQ的中点，由三角形中位线即可证明结论．
(1)由题意可设直线
的方程为：
，
，
.则直线
的方程为：.
联立
，化为：
，
，
，
则
.
同理可得：
.
，
.
化为：
，解得
.
直线的方程为：
.
(2)证明：设直线的方程为：，则直线的方程为：，
，
联立
，解得
.
可得直线
的方程：
，
联立
，解得
.
联立
，化为：
，
，可得线段的中点坐标
，与点
重合.
又点
是
的中点，
，即
.
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