[题目][2017辽宁鞍山市最后一次模]如图所示,在三棱锥中,侧面, 是全等的直角三角形, 是公共的斜边且, ,另一侧面是正三角形.(1)求证: ,(2)若在线段上存在一点,使与平面成角,试求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】【2017辽宁鞍山市最后一次模】如图所示,在三棱锥中,侧面, 是全等的直角三角形, 是公共的斜边且, ,另一侧面是正三角形.

（1）求证：；

（2）若在线段上存在一点,使与平面成角,试求二面角的余弦值.

【答案】见解析

【解析】（1）证明：作面于,连接,由题意得, ,故中, ,所以为直角三角形, ,又为在平面内的射影, ,同理得,又,所以四边形是正方形且,将所得四棱锥补成正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,则, , , , , ,所以,则.

（2）设是线段上上一点,则, ,平面的一个法向量为, ,要使与平面成角,由图可知, 与的夹角为,所以 ,则,解得,则,故线段上存在点,当时, 与平面成角.

, , , , , ,设平面的法向量,

则, ,令则,

,同理平面的法向量,

,设平面与平面成角为,

则.

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