Question

7．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求直角坐标系下圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程转化为ρ²=2aρcosθ，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，由此能求出直角坐标系下圆C的标准方程；直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程．
（2）圆心C（a，0）到直线l的距离为d=$\frac{|4a+5|}{5}$，由直线l与圆C恒有公共点，得d≤a．由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），
∴ρ²=2aρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴x²+y²=2ax，
∴直角坐标系下圆C的标准方程为（x-a）²+y²=a²．
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数，得直线l的普通方程为4x-3y+5=0．
（2）圆心C（a，0）到直线l的距离为d=$\frac{|4a+5|}{5}$，
∵直线l与圆C恒有公共点，∴d≤a．
∴实数a的取值范围是[5，+∞）．

点评 本题考查直角坐标系下圆的标准方程和直线的普通方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．