Question

20．已知等腰梯形ABCD中AB∥CD，AB=2CD=4，∠BAD=60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD（包括端点C、D）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是[$\sqrt{3}$+1，+∞）．

Answer 1

分析 以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系，求出C（1，$\sqrt{3}$），设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，计算当x=1时对于的y值，令y≥$\sqrt{3}$即可．

解答 解：以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系，则B（2，0），C（1，$\sqrt{3}$）．
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则a²+b²=c²=4，∴b²=4-a²，
把x=1代入双曲线方程得y²=$\frac{（1-{a}^{2}）{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{（1-{a}^{2}）（4-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$=a²-5+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
∵双曲线与线段CD（包括端点C、D）有两个交点，
∴a²-5+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥3，解得a²≥4+2$\sqrt{3}$（舍）或a²≤4-2$\sqrt{3}$，
∴0＜a＜$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-1$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{a}$≥$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故答案为：[$\sqrt{3}$+1，+∞）．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，属于中档题．