题目内容
8．设函数y=x3+x2+x+1在点M（1，4）处的切线为l，双曲线$\frac{x^2}{8}$-$\frac{y^2}{2}$=1的两条渐近线与l围成的封闭图形的区域为P（包括边界），点A为区域P内的任一点，已知B（4，5），O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值为（ ）| A． | $\frac{23}{12}$ | B． | 3 | C． | 2 | D． | $\frac{26}{11}$ |
分析 利用导数的几何意义求出切线方程和双曲线的渐近线，作出对应的封闭区域，利用向量数量积的定义求出向量数量积的表达式，利用线性规划的知识进行求解即可．
解答 
解：函数的导数f′（x）=3x2+2x+1，
则函数在点M（1，4）处的切线向量为k=f′（1）=3+2+1=6，
则对应的切线方程为y-4=6（x-1），即y=6x-2，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，
则对应的封闭区域为，
设A（x，y），则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4x+5y，
设z=4x+5y，得y=$-\frac{4}{5}x+\frac{z}{5}$，
平移直线y=$-\frac{4}{5}x+\frac{z}{5}$，由图象可知当直线y=$-\frac{4}{5}x+\frac{z}{5}$，
经过点A时，直线y=$-\frac{4}{5}x+\frac{z}{5}$截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=6x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{11}}\\{y=\frac{2}{11}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{4}{11}$，$\frac{2}{11}$），
此时z=4x+5y=4×$\frac{4}{11}$+5×$\frac{2}{11}$=$\frac{26}{11}$，
故选：D
点评 本题主要考查线性规划的应用，涉及导数的几何意义，双曲线的性质以及向量数量积的公式，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的关键．
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19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（an，1），$\overrightarrow{b}$=（an+1，2），且a1=1．若数列{an}的前n项的和为Sn，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则Sn=（ ）
| A． | 2n-1 | B． | 1-2n | C． | 2-（$\frac{1}{2}$）n-1 | D． | （$\frac{1}{2}$）n-2 |
20．设双曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}$=1的离心率为2，且一个焦点F（2，0），则此双曲线的方程为（ ）
| A． | ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$ | B． | ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$ | C． | $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$ | D． | $\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{4}=1$ |
17．设A={x|$\frac{1}{1-x}$≥1}，B={x|x2+2x-3＞0}，则（∁RA）∩B=（ ）
| A． | [0，1） | B． | （-∞，-3） | C． | ∅ | D． | （-∞，-3）∪（1，+∞） |