Question

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n-a_n=n²-n，n∈N⁺．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}（n=2k-1）}\\{\frac{1}{{a}_{\frac{n}{2}}{a}_{\frac{n}{2}+1}}（n=2k）}\end{array}\right.$（k∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为T_n，求T₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （1）S_n-a_n=n²-n，n∈N⁺．分别令n=2，n=3，解得a₁，a₂．根据数列{a_n}是等差数列，可得公差d=a₂-a₁，即可得出a_n．
（2）由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{2}$，利用分组求和、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）S_n-a_n=n²-n，n∈N⁺．
令n=2，得a₁=2²-2=2；令n=3，解得a₂=4．
∵数列{a_n}是等差数列，∴公差d=4-2=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
又$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{2}$，
∴T₂₀₁₆=$\frac{1}{2}[（\sqrt{2}-1）+（\sqrt{4}-\sqrt{2}）$+…+$（\sqrt{2016}-\sqrt{2014}）]$+$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{1008}-\frac{1}{1009}）]$
=$\frac{1}{2}（\sqrt{2016}-1）$+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{1009}）$
=$6\sqrt{14}+\frac{252}{1009}$-$\frac{1}{2}$
=6$\sqrt{14}$-$\frac{505}{2018}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、分组求和、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．