Question

7．已知x₁＞x₂＞x₃，若不等式$\frac{1}{{{x_1}-{x_2}}}+\frac{2}{{{x_2}-x{\;}_3}}≥\frac{m}{{{x_1}-{x_3}}}$恒成立，则实数m的最大值为（　　）

• A． 9
• B． 7
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 1+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 通过变形可知问题转化为求$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$的最小值，进而利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：∵x₁＞x₂＞x₃，
∴x₁-x₂＞0，x₂-x₃＞0，x₁-x₃＞0，
又∵$\frac{1}{{{x_1}-{x_2}}}+\frac{2}{{{x_2}-x{\;}_3}}≥\frac{m}{{{x_1}-{x_3}}}$，
∴m≤（x₁-x₃）（$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{3}}$）
=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}+{{x}_{2}-x}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}+{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$
=3+$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$，
∵$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{3}}$≥2$\sqrt{\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•2•\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{3}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴m≤3+2$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查基本不等式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．