Question

20．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

学生	1号	2号	3号	4号	5号
甲班	6	5	7	9	8
乙班	4	8	9	7	7

（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；
（2）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出两个班数据的平均值都为7，求出甲班的方差，乙班的方差，推出结果即可．
（2）X、Y可能取0，1，2，求出概率，得到分布列，然后分别求解期望．

解答 解：（1）两个班数据的平均值都为7，
甲班的方差$s_1^2=\frac{{（6-7{）^2}+（5-7{）^2}+（7-7{）^2}+（9-7{）^2}+（8-7{）^2}}}{5}=2$，
乙班的方差$s_2^2=\frac{{（4-7{）^2}+（8-7{）^2}+（9-7{）^2}+（7-7{）^2}+（7-7{）^2}}}{5}=\frac{14}{5}$，
因为$s_1^2＜s_2^2$，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定．（4分）
（2）X可能取0，1，2，$P（X=0）=\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$，$P（X=1）=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$P（X=2）=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$，
所以X分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$

（6分）
数学期望$EX=0×\frac{1}{5}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}=\frac{11}{10}$（8分）
Y可能取0，1，2，$P（Y=0）=\frac{3}{5}×\frac{1}{5}=\frac{3}{25}$，$P（Y=1）=\frac{3}{5}×\frac{4}{5}+\frac{2}{5}×\frac{1}{5}=\frac{14}{25}$，$P（Y=2）=\frac{2}{5}×\frac{4}{5}=\frac{8}{25}$，
所以Y分布列为：

Y	0	1	2
P	$\frac{3}{25}$	$\frac{14}{25}$	$\frac{8}{25}$

（10分）
数学期望$EY=0×\frac{3}{25}+1×\frac{14}{25}+2×\frac{8}{25}=\frac{6}{5}$．（12分）

点评 本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法．本题主要考查学生的数据处理能力．