Question

12．已知数列{a_n}满足a_n＞0，其前n项和S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂（1+$\frac{1}{a{\;}_{n}}$），并记T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：3T_n＞log₂（$\frac{a{\;}_{n}+3}{2}$），n∈N^*．

Answer 1

分析 （I）由S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．即6S_n=${a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2$，利用递推式及其等差数列的通项公式即可得出；
（II）当a_n=3n-2，b_n=log₂（1+$\frac{1}{a{\;}_{n}}$），数列{b_n}的前n项和T_n=$lo{g}_{2}（1+\frac{1}{{a}_{1}}）$+$lo{g}_{2}（1+\frac{1}{{a}_{2}}）$+…+$lo{g}_{2}（1+\frac{1}{{a}_{n}}）$=$lo{g}_{2}[（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）•…•（1+\frac{1}{{a}_{n}}）]$，
要证明3T_n＞log₂（$\frac{a{\;}_{n}+3}{2}$），n∈N^*．即证明T_n$＞lo{g}_{2}\root{3}{\frac{{a}_{n}+3}{2}}$．即证明$（1+\frac{1}{{a}_{1}}）$$（1+\frac{1}{{a}_{2}}）$•…•$（1+\frac{1}{{a}_{n}}）$＞$\root{3}{\frac{{a}_{n}+3}{2}}$．可以利用数学归纳法证明，当a_n=3n-1，同理可证．

解答 （I）解：∵S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．即6S_n=${a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2$，
∴当n=1时，6a₁=${a}_{1}^{2}$+3a₁+2，解得a₁=1或2．
当n≥2时，$6{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}+2$，
∴6a_n=${a}_{n}^{2}+3{a}_{n}-{a}_{n-1}^{2}$-3a_n-1，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1=3，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3，首项为1或2．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，或a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（II）证明：当a_n=3n-2，b_n=log₂（1+$\frac{1}{a{\;}_{n}}$）=$lo{g}_{2}\frac{3n-1}{3n-2}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$lo{g}_{2}（1+\frac{1}{{a}_{1}}）$+$lo{g}_{2}（1+\frac{1}{{a}_{2}}）$+…+$lo{g}_{2}（1+\frac{1}{{a}_{n}}）$=$lo{g}_{2}[（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）•…•（1+\frac{1}{{a}_{n}}）]$，
要证明3T_n＞log₂（$\frac{a{\;}_{n}+3}{2}$），n∈N^*．
即证明T_n$＞lo{g}_{2}\root{3}{\frac{{a}_{n}+3}{2}}$．
即证明$（1+\frac{1}{{a}_{1}}）$$（1+\frac{1}{{a}_{2}}）$•…•$（1+\frac{1}{{a}_{n}}）$＞$\root{3}{\frac{{a}_{n}+3}{2}}$．
下面利用数学归纳法证明：
（i）当n=1时，左边=1+1=2，右边=$\root{3}{2}$，左边＞右边，不等式成立．
（ii）假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即$（1+\frac{1}{{a}_{1}}）$$（1+\frac{1}{{a}_{2}}）$•…•$（1+\frac{1}{{a}_{k}}）$＞$\root{3}{\frac{{a}_{k}+3}{2}}$．
则当n=k+1时，需要证明：$\root{3}{\frac{{a}_{k}+3}{2}}$×$（1+\frac{1}{{a}_{k+1}}）$＞$\root{3}{\frac{{a}_{k+1}+3}{2}}$，
即证明：$（1+\frac{1}{{a}_{k+1}}）^{3}$＞$\frac{{a}_{k+1}+3}{{a}_{k}+3}$成立，
即$\frac{（3k+2）^{3}}{（3k+1）^{3}}＞\frac{3k+4}{3k+1}$，即证明（3k+2）³＞（3k+1）²（3k+4），
而（3k+2）³-（3k+1）²（3k+4）=9n+8＞0，
因此逆推可知：$\root{3}{\frac{{a}_{k}+3}{2}}$×$（1+\frac{1}{{a}_{k+1}}）$＞$\root{3}{\frac{{a}_{k+1}+3}{2}}$，也就是当n=k+1时不等式成立．
综上可得：3T_n＞log₂（$\frac{a{\;}_{n}+3}{2}$），n∈N^*．
当a_n=3n-1，同理可证．

点评 本题考查了递推式、等差数列的通项公式、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．