Question

5．在△ABC中，AB=BC=2，AC=3，设O是△ABC的内心，若$\overrightarrow{AO}$=p$\overrightarrow{AB}$+q$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{p}{q}$的值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 在$\overrightarrow{AO}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$两边分别同乘以向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，从而得到$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=p{\overrightarrow{AB}}^{2}+q\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=p\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+q{{\overrightarrow{AC}}^{2}}^{\;}$．画出图形并取AC边的中点D，O在BD上，所以$cos∠BAO=cos∠DAO=\frac{3}{2|\overrightarrow{AO}|}$，由余弦定理可求得cos∠BAC=$\frac{3}{4}$，这样进行数量积的计算即可得到关于p，q的两个方程，解方程组即可求出p，q，从而求出$\frac{p}{q}$．

解答 解：如图，O为△ABC的内心，D为AC中点，则：O在线段BD上；
cos∠DAO=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{3}{2|\overrightarrow{AO}|}$，根据余弦定理：cos∠BAC=$\frac{4+9-4}{2•2•3}=\frac{3}{4}$；
由$\overrightarrow{AO}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$得：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=p{\overrightarrow{AB}}^{2}+q\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$；
∴$|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AB}|cos∠BAO$=$p{\overrightarrow{AB}}^{2}+q|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos∠BAC$；
∴$3=4p+\frac{9}{2}q$①；
同理$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=p\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+q{\overrightarrow{AC}}^{2}$；
∴可以得到$\frac{9}{2}=\frac{9}{2}p+9q$②；
∴①②联立可求得$p=\frac{3}{7}，q=\frac{2}{7}$；
∴$\frac{p}{q}=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 考查三角形内心的定义，余弦函数的定义，余弦定理，以及数量积的计算公式．