Question

13．公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁，a₂，a₅成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=a${\;}_{{b}_{n}}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记得数列{$\frac{1+{a}_{n}}{4{b}_{n}}$}的前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₁，a₂，a₅成等比数列，且该数列的前10项和为100，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+4d），10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=100，联立解得a₁，d，即可得出a_n．又满足S_n=a${\;}_{{b}_{n}}$，n∈N^*，可得S_n=2b_n-1，利用递推关系可得：b_n．
（II）$\frac{1+{a}_{n}}{4{b}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁，a₂，a₅成等比数列，且该数列的前10项和为100，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（a₁+4d），10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=100，联立解得a₁=1，d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
又满足S_n=a${\;}_{{b}_{n}}$，n∈N^*，∴S_n=2b_n-1，当n=1时，b₁=2b₁-1，解得b₁=1．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-1-（2b_n-1-1），化为：b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴b_n=2^n-1．
（II）$\frac{1+{a}_{n}}{4{b}_{n}}$=$\frac{1+2n-1}{4×{2}^{n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴前n项和为T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
n≥2时，T_n-T_n-1=$\frac{n}{{2}^{n}}$＞0．
∴数列{T_n}单调递增，
∴$\frac{1}{2}≤$T_n＜2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系的应用、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．