Question

20．若函数y=f（x）满足：对y=f（x）图象上任意点P（x₁，f（x₁）），总存在点P′（x₂，f（x₂））也在y=f（x）图象上，使得x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0成立，称函数y=f（x）是“特殊对点函数”，给出下列五个函数：
①y=x^-1；
②y=log₂x；
③y=sinx+1；
④y=e^x-2；
⑤y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$．
其中是“特殊对点函数”的序号是③④⑤（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析 根据条件x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0，得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OP′}$=0即$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$，转化为和$\overrightarrow{OP}$垂直的向量$\overrightarrow{OP′}$和函数f（x）有交点，利用数形结合进行判断即可

解答 解：∵P（x₁，f（x₁）），点P′（x₂，f（x₂）），
∴若x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0，则等价为$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OP′}$=0，即$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$．
①当P（1，1）时，满足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的P′（-1，1）不在f（x）的图象上，故①不是“特殊对点函数”，

②当P（1，0）时，满足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的P′不在f（x）的图象上，故②不是“特殊对点函数”，

③作出函数y=sinx+1的图象，由图象知，满足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的点P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）图象上，则③是“特殊对点函数”，

④作出函数y=e^x-2的图象，由图象知，满足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的点P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）图象上，则④是“特殊对点函数”，

⑤作出函数y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的图象，由图象知，满足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的点P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）图象上，则⑤是“特殊对点函数”．

故答案为：③④⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，根据条件转化为向量垂直，利用数形结合是解决本题的关键．