Question

3．设函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中向量$\overrightarrow a=（2cosx，-2sinx）$，$\overrightarrow b=（3cosx，\sqrt{3}cosx）$，其中x∈R．
（1）求函数y=f（x）的最大值及此时x取值的集合；
（2）求函数f（x）的单调增区间和图象对称中心点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用余弦函数的单调性与值域即可得出最值；
（2）利用余弦函数的单调性和对称中心即可求出．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=6{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx$=$3cos2x-\sqrt{3}sin2x+3=2\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x）+3$=$2\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{6}）+3$，
则当$cos（2x+\frac{π}{6}）=1$时，即$2x+\frac{π}{6}=2kπ$，
也即$x=kπ-\frac{π}{12}（k∈Z）$时，函数f（x）的最大值为$2\sqrt{3}+3$，
此时x取值的集合为$\left\{{x\left|{x=kπ-\frac{π}{12}（k∈Z）}\right.}\right\}$；
（2）∵要求函数$f（x）=2\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{6}）+3$的单调增区间，
∴$2kπ+π＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+2π$，即$kπ+\frac{5π}{12}＜x＜kπ+\frac{11π}{12}（k∈Z）$，
即函数f（x）的单调增区间为$（kπ+\frac{5π}{12}，kπ+\frac{11π}{12}）（其中k∈Z）$，
又令f（x）=3，则$cos（2x+\frac{π}{6}）=0$，
即$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$，也即$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
则图象对称中心点的坐标为$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，3）（其中k∈Z）$．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、余弦函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．