Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．
（1）若AB=AD=a，直线PB与CD所成角为45°，
①求四棱锥P-ABCD的体积；
②求二面角P-CD-B的大小；
（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）①由AB∥CD，知∠PBA是PB与CD所成的角，故∠PBA=45°所以在直角三角形PAB中，PA=AB=a，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
②由AB⊥AD，CD∥AB，知CD⊥AD，又PA⊥ABCD，故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，由此能求出二面角P-CD-B的大小．
（2）当点E在线段PC上，且PE：EC=2：1时，平面EBD垂直平面ABCD．理由：连AC、BD交于O点，连EO．由△AOB∽△COD，且CD=2AB，知CO=2AO∴PE：EC=AO：CO=1：2，由此能够推导出平面EBD垂直于平面ABCD．

解答：解：（1）①∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成的角，则∴∠PBA=45°
所以在直角三角形PAB中，PA=AB=a，
VP-ABCD=

1

3

•PA•SABCD=

1

2

a3．（3分）
②∵AB⊥AD，CD∥AB，
∴CD⊥AD，又PA⊥ABCD，
∴PA⊥CD，∴CD⊥PAD，
∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，
在直角三角形PDA中，PA=AD=a，
∴∠PDA=45°，即二面角P-CD-B为45⁰．（7分）
（2）当点E在线段PC上，且PE：EC=2：1时，
平面EBD垂直平面ABCD理由如下：
连AC、BD交于O点，连EO．
由△AOB∽△COD，且CD=2AB
∴CO=2AO∴PE：EC=AO：CO=1：2
∴PA∥EO．…（11分）
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD．
又EO在平面EBD内，
∴平面EBD垂直于平面ABCD．…（13分）

点评：本题考查四棱锥体积的求法，考查二面角大小的求法，确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．