Question

13．（1）已知f（$\frac{1}{x}$）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$（x＞0），求f（x）．
（2）已知f（x）为一次函数，且f[f（x）]=9x+8，求f（x）；
（3）已知f（x）满足关系式（x-1）f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x-1}（x≠0，1）$，求f（x）

Answer 1

分析 （1）利用换元法进行求解即可求f（x）．
（2）利用待定系数法即可求f（x）；
（3）利用方程组进行求解即可．

解答 解：（1）令t=$\frac{1}{x}$则x=$\frac{1}{t}$则由f（$\frac{1}{x}$）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$（x＞0），
得f（t）=$\frac{1}{t}$+$\sqrt{（\frac{1}{t}）^{2}+1}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{t}$=$\frac{1+\sqrt{{t}^{2}+1}}{t}$，
∴f（x）=$\frac{1+\sqrt{{x}^{2}+1}}{x}$（x＞0）．
（2）∵f（x）为一次函数，
∴设f（x）=kx+b，（k≠0），
∵f[f（x）]=9x+8，
∴f[f（x）]=k²x+kb+b=9x+8，
∴k²=9，kb+b=8
解得k=±3，
当k=3时，4b=8，则b=2，此时f（x）=3x+2，
当k=-3时，-2b=8，则b=-4，此时f（x）=-3x-4．
（3）∵（x-1）f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x-1}（x≠0，1）$，①
∴（$\frac{1}{x}$-1）f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{1}{\frac{1}{x}-1}$=$\frac{1}{\frac{1-x}{x}}$=$\frac{x}{1-x}$，
即$\frac{1-x}{x}$f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{x}{1-x}$，②
①×$\frac{1-x}{x}$-②得$\frac{1-x}{x}$•（x-1）f（x）-f（x）=$\frac{1}{x-1}•\frac{1-x}{x}$-$\frac{x}{1-x}$=-$\frac{1}{x}$-$\frac{x}{1-x}$，
即$\frac{-（x-1）^{2}-x}{x}$f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x（x-1）}$，
即$\frac{-{x}^{2}+x-1}{x}$f（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x（x-1）}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{1-x}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，要求熟练掌握换元法，待定系数法以及方程组法．